从回文诗到镜反数

               湖北   赵国瑞  

对称作为一种思想、方法，渗透在文化、艺术与生活的方方面面．你看，下面谈到的文学中的回文诗与数学中的镜反数，还真的都体现了对称的核心思想，并蕴涵着某种异曲同工之妙呢！

中国文字优美而神奇，如果能在音律辞藻与形式变化上巧妙构思与灵活应用，真有不少让人叹为观止的神奇景象．譬如说，“夫忆妻兮父忆儿”，如果你从后面倒过来读，那就会变成“儿忆父兮妻忆夫”，同样有意义，真是妙极了．

清初女诗人吴绛雪作有一首轱辘回文诗：

香莲碧水动风凉，水动风凉夏日长．

长日夏凉风动水，凉风动水碧莲香．

全文共十个不同的字，描绘了一幅风吹水动，花香暗浮的夏日图．妙的是诗的上两句倒着读过来就是诗的下两句，更妙的是把这十个字排成一个圆，顺时针读是上两句，逆时针读是下两句，就像是一只来回旋转的轱辘．

将其精髓提取出来，反馈到数学领域中．我们同样有，把一个数倒读后所得的数，称为原数的“镜反数”．镜反数是一种相互的关系，例如1234与4321就互为镜反数．

杨振宁博士是一位研究固体物理的海外华裔知名学者．1979年3月，他在一封信中津津乐道地谈到了他的发现，揭示了自然数中存在的一些“镜反数”现象．

我们用双向箭头记号 表示互为镜反数的关系，于是有：12 21．

左右两个自然数，各自平方后成为144及441．我们注意到，它们依然保持了镜反数的关系，即：12²=144 441=21²．

13和31互为镜反数，它们各自平方后所得的数也保持了镜反数的关系，即：13²=169 961=31²．

设自然数a的镜反数是b，如果a²、b²也是一对镜反数，我们称a是平方镜反数．

事实上，对于任何n(大于1)位数，存在平方镜反数．如102，1002，10002，…在1和2中间插多少个0组成的数是平方镜反数．可以发现这些平方镜反数只是由0，1，2，3组成，而且它们的排列有美丽的规律．

不知道你注意到这个现象没有：12、13是相邻的正整数，且它们都是平方镜反数，我们把这样的一对自然数称为一对相邻平方镜反数．12、13就是一对相邻平方镜反数，用符号可记为｛12，13｝．

在两位数中，除了｛12，13｝外，还有没有其他的相邻平方镜反数？

在两位数还有：｛11，12｝，即11²=121 121=11²，12²=144 441=21²；｛21，22｝，即21²=441 144=12²，22²=484 484=22²．

在三位数中有：｛112，113｝，即112²=12544 44521=211²，113²=12769 97621=311²．

四位数中有：｛1112，1113｝，即1112²=1236544 4456321=2111²，1113²=1238769 9678321=3111²．

五位数亦是如此(一试便知)．

因此，现在只要把它们扩充如｛101，102｝，｛1001，1002｝，｛10001，10002｝，……就可以得到无穷多组相邻平方镜反数．

在镜反数中，不仅有相邻平方镜反数的奇妙现象，还有相邻乘积镜反数的奇妙现象：如12与13是一对相邻的自然数，12×13=156，它们镜反数的乘积是：31×21=651．156和651互为镜反数，即12×13=156 651=31×21．

设a、b是一对连续自然数，a的镜反数是c，b的镜反数是d，如果ab与cd也是一对镜反数，我们称a、b是一对相邻乘积镜反数．12、13就是一对相邻平方镜反数，用符号可记为［12，13］．事实上，所有的相邻平方镜反数都是相邻乘积镜反数．

除了平方镜反数，相邻平方镜反数，相邻乘积镜反数外，还有立方镜反数等．

镜反数其实也是数论中的内容，数论内容的确丰富多彩，仅镜反数这部分内容竟然这样令人流恋忘返．难怪高斯说：“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”．因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”．关于镜反数，还有许多奇妙的性质，等待我们去探索，等待我们去摘取”其中的“明珠”．相信你自己就是一位摘取这颗“明珠”的未来数学家．

责任编辑:田心红