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九月号中考版:滚圆问题

发表时间:2007-10-31 热度

                     “滚圆问题”进入中考视线

                       山东省邹平县明集中学   王树林  张繁青

在分析近几年中考题时,不难发现,滚圆问题在几个省市中考试卷上占有一定的位置,不得不引起我们的重视,今天我们对这一问题作以下进一步的研究,希望能帮助同学们搞清这类问题的实质。

解决此问题的关键学生需明白问题的原理:当外圆沿着圆自传一周时,外圆的圆心移动的弧长等于外圆的周长。下面仅对小圆在大圆外沿大圆滚动时给出证明。

如图设⊙O半径为R,O1半径为rR>r)⊙O1在⊙O滚动,⊙O1自传一周时到达图中

O1

O

A

B

O1

A

O1的位置,此时半径O1A转到O1A的位置,O1AO1A,此时⊙O1的圆心移动的弧长为O1 O1的长,设⊙O1与⊙O相切于点B,AB的长等于⊙O1BmA的长,

设∠O1O O1n0,则∠B O1 An0,由此得

 

O1 O1的长= 的周长.结论得证.

上面的证明搞明白,以后在解决这类问题时,就已经不成问题。在2004年中考中这三道题比较引人注目,下面我们就用其原理解决问题。

(新疆生产建设兵团中考题) 如图,在同一平面上有两个大小相同的圆,其中⊙O1固定不动,O2在其外围相切滚动一周,则⊙O2自传(    )

·

·

O1

O2

 A 1  B  2  C  3  D  4

 

分析:设两圆的半径为r,⊙O2自传的周数为n

圆心走过的弧长为以O1为圆心,以2r为半径的圆。

  根据原理:4πr=n2πr,得n=2

(济南市中考题)一电动车玩具的正面是由半径为

10cm的小圆盘和半径为20cm的大圆盘依右图方式

连接而成的,小圆盘在大圆盘的圆周上外切滚动一周且不发生滑动(大圆盘不动),

回到原来的位置,在这一过程中判断虚线所示位置的三个圆内,所画的头发、眼睛、

嘴巴位置正确的是(不妨动手试一试)   

A

B

O

 

分析:小圆盘在大圆盘的圆周上外切滚动时,小圆盘的圆心在以大圆盘圆心为圆心,以30cm为半径的圆上运动,小圆盘滚动到如图所示第一位置时,圆心所走过的弧长为= ,小圆盘的周长为=2π10=20π,所以小圆滚动到第一位置时正好自传一周,再滚动到第二位置时小圆盘正好自传一周半,到第三位置时正好两周,回到原位置正好三周,所以正确答案为B

(山东滨州中考题)1)如图,把⊙O放在一条长度等于其

周长的线段上,从一个端点无滑动地滚动到另一端点,⊙O

O

A

B

C

转动几周

2)如图若把⊙O放在边长等于其周长的正三角形ABC上,

沿着ABCA的线路无滑动地滚动一周回到原来的位置,则⊙O

将转动几周?说明理由。

分析:(1)一周

     24周,设⊙O的半径为r,⊙O从与AC相切于A

滚动到与AB相切与A点,转过1200,在三个顶点上共转了3600

在三个顶点上转动时,圆心在以A为圆心,以OA为半径的圆上运动,

圆心所走过的弧长= ×3=2πr,正好等于圆的周长,即圆自传一周,又因圆在三边上各转过一周,所以共转动了4周。

练习:

12005年山东济宁)如图,将半圆为2cm的圆形纸板,沿着边长分别为16cm12cm的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置,圆心所经过的路线长度是     cm(π≈3.14

 

 

 

 

 

22006年安徽芜湖)一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘,如图所示,ABCD是水平的,BC与水平面的夹角为600,其中AB60cm,CD=40cm,请你作出该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的示意图,并求出此路线的长度。

O

A

B

C

D

60cm

40cm

40cm

600

 

 

 

 

 

责任编辑:祁韵

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