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旋转问题考点讲评

山东　高兴双

旋转问题是中考必考内容，题目类型多种多样，有偏重基本概念考查的选择题、填空题，有偏重于动手操作能力考查的图案设计问题，也有重点考查思维能力和知识综合运用的各类综合题和规律探问题.现以2006年中考题为例，说明这类问题考查的主要知识点和题目类型.

一、考查基本概念

例1 将叶片图案旋转180°后，得到的图形是( )．

叶片图案 A B C D

解析：以旋转图形的定义为依据进行判断，观察图形可知，A是叶片图案经过翻转、旋转得到，B与叶片图案成轴对称，C是叶片图案经过平移得到，D是叶片图案旋转180°后得到.所以应选D.

例2（黑龙江省）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )

A B C D

解析：本题综合考查了轴对称图形和中心对称图形定义，A只是中心对称图形；B既不是轴对称图形，又不是中心对称图形；D是轴对称图形；只有图C既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以应选C.

评注：以上两例考查了对概念的理解及其应用，考查了对图形的观察能力，是中考中的“送分”题，但也应引起同学们的高度重视.

练习一：（1）(2006年眉山市)数学课上，老师让同学们观察如图1所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°.以上四位同学的回答中，错误的是（）

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

（2）（2006年江西省）下列图案都是由字母“ ”经过变形、组合而成的，其中不是中心对称图形的是（　　）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

二、考查旋转性质的应用

例3（青岛市）如图2，P是正三角形 ABC 内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB ，则点P与点P′ 之间的距离为_______，∠APB＝______°．

解析：连接PP′，由△P′AB是由△PAC旋转得到，可知P′A=PA=6，P′B=PC=10， P′AB= PAC.

△ABC是正三角形， BAC=60°.

△P′AP为等边三角形， P′PA=60°，PP′=PA=6.

PP′=6，P′B=10，PB=8，

根据勾股定理可得△P′PB为直角三角形，

P′PB=90°，

∠APB=60°+90°=150°.

评注：本题主要考查了旋转的性质.旋转不改变图形的大小与形状，旋转前后的两个图形是全等的，紧紧抓住旋转旋转前后图形之间的全等关系，是解决与旋转有关问题的关键.

练习二：(2006年宁波市)如图3，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90到△A′B′C的位置，已知斜边AB=10cm，BC=6cm，设A′B′的中点是M，连接AM，则AM cm.

三、图案设计

例4（鸡西市）如图4，在网格中有一个四边形图案．

（1）请你画出此图案绕点O顺时针方向旋转90°，180°，270°的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；

（2）若网格中每个小正方形的边长为l，旋转后点A的对应点依次为A 、A 、A ，求四边形AA A A 的面积；

（3）这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．

解析：运用“对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角相等”等性质不难作出所需图形.即（1）如图5.

（2）如图5， = -4S =(3+5) -4××3×5 =34.

故四边形AA A A 的面积为34．

（3）结论：AB +BC =AC 或勾股定理的文字叙述:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

评注：本题主要考查利用旋转变换设计出新图案，并根据新图案探索结论性问题，这是近几年中考的热点新题型.同时也考查了同学们的动手实践、自主探究和空间形象能力，值得同学们关注.

练习三：（2005年沈阳市）（1）如图6，在方格纸中如何通过平移或旋转这两种变换，由图形A得到图形B，再由图形B得到图形C（对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度）；

（2）如图6，如果点P、P 的坐标分别为（0，0）、（2，1），写出点P 的坐标；

（3）图7是某设计师设计图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在方格纸中将图形绕点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，依次画出旋转后所得到的图形，你会得到一个美丽的图案，但涂阴影时不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果，你来试一试吧！

注：方格纸中的小正方形的边长为1个单位长度.

练习四（2006年锦州市）如图9，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.

(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；

(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.

参考答案：练习一：（1）B （2）B 练习二：

练习三：（1）将图形A向上平移4个单位长度，得到图形B；将图形B以点P 为旋转中心顺时针旋转90°，再向右平移4个单位长度得到图形C或将图形B向右平移4个单位长度，再以P 为旋转中心顺时针旋转90°得到图形C.

（2）P （4，4）.

（3）如图10.

练习四：(1)猜想：AF=BD且AF⊥BD.

　　　证明：设AF与DC交点为G.

　　　 ∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，

　　　 ∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，

　　　∴∠BCD=∠ACF.∴△ACF≌△BCD.

∴AF=BD. ∴∠AFC=∠BDC.

　　　 ∵∠AFC+∠FGC=90°, ∠FGC=DGA，

　　　∴∠BDC+∠DGA=90°.∴AF⊥BD.

　　　∴AF=BD且AF⊥BD.

　　　(2)结论：AF=BD且AF⊥BD.

　　　图形不惟一，只要符合要求即可.

　　　如：①CD边在△ABC的内部时（如图11）；

　②CF边在△ABC的内部时（如图12）.

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责任编辑:祁韵


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