九月号中考版:滚圆问题-高考频道-树人网

“滚圆问题”进入中考视线

山东省邹平县明集中学王树林张繁青

在分析近几年中考题时，不难发现，滚圆问题在几个省市中考试卷上占有一定的位置，不得不引起我们的重视，今天我们对这一问题作以下进一步的研究，希望能帮助同学们搞清这类问题的实质。

解决此问题的关键学生需明白问题的原理：当外圆沿着圆自传一周时,外圆的圆心移动的弧长等于外圆的周长。下面仅对小圆在大圆外沿大圆滚动时给出证明。

如图设⊙O半径为R,⊙O₁半径为r（R>r）⊙O₁在⊙O滚动，⊙O₁自传一周时到达图中

O^＇₁

O₁

A^＇

⊙O^＇₁的位置，此时半径O₁A转到O^＇₁A^＇的位置，O^＇₁A^＇∥O₁A,此时⊙O₁的圆心移动的弧长为O₁ O^＇₁的长,设⊙O^＇₁与⊙O相切于点B,则AB的长等于⊙O^＇₁上BmA^＇的长，

设∠O₁O O^＇₁＝n⁰,则∠B O^＇₁ A^＇＝n⁰，由此得

故 O₁ O^＇₁的长＝的周长.结论得证.

上面的证明搞明白,以后在解决这类问题时,就已经不成问题。在2004年中考中这三道题比较引人注目，下面我们就用其原理解决问题。

(新疆生产建设兵团中考题) 如图,在同一平面上有两个大小相同的圆,其中⊙O₁固定不动,⊙O₂在其外围相切滚动一周,则⊙O₂自传( )

O₁

O₂

A 1周 B 2周 C 3周 D 4周

分析：设两圆的半径为r，⊙O₂自传的周数为n

圆心走过的弧长为以O₁为圆心，以2r为半径的圆。

根据原理：4πr=n2πr，得n=2

(济南市中考题)一电动车玩具的正面是由半径为

10cm的小圆盘和半径为20cm的大圆盘依右图方式

连接而成的,小圆盘在大圆盘的圆周上外切滚动一周且不发生滑动(大圆盘不动),

回到原来的位置,在这一过程中判断虚线所示位置的三个圆内,所画的头发、眼睛、

嘴巴位置正确的是（不妨动手试一试）（）

分析：小圆盘在大圆盘的圆周上外切滚动时，小圆盘的圆心在以大圆盘圆心为圆心，以30cm为半径的圆上运动，小圆盘滚动到如图所示第一位置时，圆心所走过的弧长为＝ ,小圆盘的周长为=2π10=20π,所以小圆滚动到第一位置时正好自传一周,再滚动到第二位置时小圆盘正好自传一周半,到第三位置时正好两周,回到原位置正好三周,所以正确答案为B

（山东滨州中考题）（1）如图，把⊙O放在一条长度等于其

周长的线段上，从一个端点无滑动地滚动到另一端点，⊙O将

转动几周

（2）如图若把⊙O放在边长等于其周长的正三角形ABC上，

沿着ABCA的线路无滑动地滚动一周回到原来的位置，则⊙O

将转动几周？说明理由。

分析：（1）一周

（2）4周，设⊙O的半径为r，⊙O从与AC相切于A点

滚动到与AB相切与A点，转过120⁰，在三个顶点上共转了360⁰，

在三个顶点上转动时，圆心在以A为圆心，以OA为半径的圆上运动，

圆心所走过的弧长＝ ×3=2πr，正好等于圆的周长，即圆自传一周，又因圆在三边上各转过一周，所以共转动了4周。

练习：

1（2005年山东济宁）如图，将半圆为2cm的圆形纸板，沿着边长分别为16cm和12cm的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长度是 cm（π≈3.14）

2（2006年安徽芜湖）一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60⁰，其中AB＝60cm,CD=40cm，请你作出该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度。

60cm

40cm

60⁰

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责任编辑:祁韵


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